アーベル群の圏とは? - 日本語辞典 Mazii

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アーベル群の圏

数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏（あーべるぐんのけん、英: category of abelian groups）Ab は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型であり、実際に任意の小さいアーベル圏は Ab に埋め込める。アーベル群の圏 Ab の零対象は、単位元のみからなる自明群

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アーベル圏

ホモロジー代数・圏論 > アーベル圏アーベル圏（アーベルけん、英: abelian category）とは（コ）チェイン複体のホモロジー/コホモロジーと層のコホモロジーの双方を展開するのに十分な構造を備えた圏である。アーベル圏となる圏の具体例としてはアーベル群の圏や環上の加群の圏、アーベル圏

アーベル群

群の場合、この定理によりそのような任意のアーベル群がねじれ群と自由アーベル群の直和に分解できることが保証される。そのときのねじれ群は、適当な素数 p に対する素冪位数巡回群 Z/pkZ の形の群の有限個の直和であり、自由アーベル群は無限巡回群 Z の有限個のコピーの直和になっている。アーベル群の間の二つの群準同型

アーベル群のランク

(Prüfer rank)、あるいは捩れなしランク (torsion-free rank) は極大線型独立部分集合の濃度である。A のランクは A に含まれる最大の自由アーベル群のサイズを決定する。A が捩れなしであれば次元がランク A の有理数体上のベクトル空間に埋め込まれる

群の圏

とすれば、U の左随伴は合成函手 KF: Set → Mon → Grp に等しい。群の圏 Grp における単型射（圏論的単射）はまさに単準同型であり、全型射（圏論的全射）は全準同型、同型射は双射準同型が与える。群の圏 Grp は完備かつ余完備である。Grp における圏論的直積はちょうど群の直積で与え